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∑(b-c)2≥13∑b+ca(b-c)2,试证不等式①中的系数13是最优的。
这题需要将系数13一般化,设为k然后证明k的取值范围≤13就可。这题在第一题难度相对不大。
第二题求一切实数p,使得三次方程5x3-5(p+1)x2+(71p-1)x+1u003d66p
这题难度也不太离谱,假设法设未知数,最后求得vu003d17或59,uu003d59或17,pu003du+vu003d76,即当且仅当pu003d76时,方程三根均是正整数:1,17,59
从第三题就有点不好搞了,这是一道数列题。
设au003d1,a2u003d2.anu003d2an-1+an-2,nu003d3,4,...。证明:对整数n≥5,an必有一个模4余1的素因子。
这题张尧花了不少时间,数学归纳法在这题上用的出神入化,另外还用到了费马小定理和分类讨论的思想。
求解过程相当复杂,就这一道题把张尧前两题积累的时间全用完了。
最后一题是考的是染色问题,染色问题属于杂题,但在猜想中与其相关的不少。
题干为能否把1,1,2,2,3,3,...,1986,1986这些数排成一行,使得两个1之间夹着一个数,两个2之间夹着两个数,...,两个1986、之间夹着一千九百八十六个数?请证明你的结论
证明将1986x2个位置按奇数位着白色,偶数位着黑色染色,于是黑白点各有1986个。证明将1986x2个位置按奇数位着白色,偶数位着黑色染色,于是黑白点各有1986个
现令一个偶数占据一个黑点和一个白色,同一个奇数要么都占黑点,要么都占白点.于是993个偶数,占据白点A,u003d993个,黑色B,u003d993个.
993个奇数,占据白点A,u003d2a个,黑点Bgu003d2b个,其中a+bu003d993.因此,共占白色Au003dA,+A,u003d993+2a个.
黑点Bu003dB,+B,u003d993+2b个,
由于a+bu003d993(非偶数!)a≠b,从而得A≠B.这与黑、白点各有1986个矛盾.故这种排法不可能.
这题其实比上一题要来的简单,不过染色问题很少做最后一题考,一下子遇到还是有点难办!
这张试卷写完后,张尧感觉这次数学竞赛的难度不是很大,不比往年要难。只能说差不多罢了。
也不怪张尧这样想,他参加的竞赛太多了,有时他都默认省赛题会比初赛难很多的设定了。但其实也不尽然,有些地方的初赛试题不比联赛来的容易。
写完后大概还剩三十分钟的时间。张尧把真张试卷都检查了一下,尤其检查是不是有笔误,数学试题的解答过程很长,如果出现这种错误,对评分影响很大。
检查完毕后张尧又对其中一些题目用其他方法尝试,最好用的莫过于反证法。一般结论是错误的题目用反证法更容易一点。
但张尧没把最后的结果写上,这只是他的一种尝试而已,并不完全正确。所以放在试卷上可能会出现狗尾续貂的问题。
喜欢张尧的人生旅程()张尧的人生旅程。
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