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第二百九十八章 卡塔朗数组合（第1页）

卡塔朗有一天去剧场排队，看到售票处因为没有找零的钱而跟顾客发生了冲突。

很多顾客都抱怨为什么剧场售票处没有足够的零钱，而剧场售票处的人也发现大家都用大整钱。

卡塔朗在想，不见所有的人用整钱，只是没有足够零钱的人排队排在前头，导致零钱被找光而发生了断供。

卡塔朗在想：“如果带零钱的人全部在前面排队，那么问题一定好解决。”

“不见得所有有零钱的人一定在前方排队，而是有一部分人有零钱的人在前面即可，但是有零钱的人是多少个呢？”

卡塔朗在假设，售票窗口前有2n个人排队买票，每张门票定价5角，每人限购一张。这些人中，只带一张5角人民币的与只带一张1元人民币的各有n人。

开始售票时，售票窗口没有角票可以找零。试问：大家都能顺利买票，售票员始终没有找不出零钱困扰的排队方法共有多少种?

卡塔朗开始思考用0代表身边带5角钱的人，1代表带1元钱的人，则本问题即可变成：有n个0和n个1，问有多少种排列方法，使排成的0、1序列里，任意前i（i可从1变到2n）个数字中，0的个数总不少于1的个数，此性质称为前束性质。

卡塔朗开始画图，发现把0看作向右走一步，把1看作向上走一步，则很明显，n个0和n个1所组成的序列将和图中从原点（0，0）到点（n，n）的递增路径是一一对应的。于是，我们只要计算路径的条数就行了。

很快卡塔朗找到了一个公式计算排队的方法，如果是有n个5角和n个1元的人的排队，则有（2n）!（n!（n+1）!）个办法。

如果是有1个人排队是1个办法，2个人排队则是1个办法，3个人排队是2个办法。此后的4、5、6、7、8、9、10个人排队分别有5，14，42，132，429，1430，4862种办法。

卡塔朗数是一个组合数，一些组合计数问题可以归结为解下列形式的递归关系：un=u1un-1+u2un-2+…+un-1u1，n≥2，且u1=1，它的解un称为卡塔朗数。

一般认为这种数是由比利时数学家卡塔朗在1838年首先提出的，但后来有人指出，实际上大数学家欧拉早在1758年就已认识到它了。

我国内蒙古师范大学罗见今副教授以大量的史料论证，所谓“卡塔朗数”的首创者其实并非欧洲人，而是我国清朝的蒙古族学者明安图（1692～1763）。他的发现早于欧拉，比卡塔朗的发现，几乎早了一百年。

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